一、首先我们谈一下0:
0是一个基本概念,也是一个独立的数。
在数字产生的初级阶段,人们在计数时,常常遇到没有事物可以数的情况,逐渐的形成了用符号“0”来表示没有,这是零的原始概念。
0在计数法中有占位的作用,比如50,个位上就用0来占位。
0是唯一的中性数,是正数和负数的分界线。
0作为一个独立的数,不仅可以表示没有,而且具有非常确切的内容。比如,在测量温度中,0度不是表示没有温度,而是实际测量的结果。
0在计算中起非常重要的作用。零加任何数和都为这个数;任何数减零差也是这个数;零乘以任何数积规定为零;零除以任何数(不包括零)商都为零。那么自然就会问0为什么不能做除数呢?当然老师也会说0作为除数没有意义。
二、我们来解释一下为啥除数不能为0:
我们可以进行反面思考,如果除数是0,会怎么样?
第一种情况,除数是0,被除数不是0;我们把被除数÷除数=商转化成乘法就是除数×商=被除数;而根据乘法中的规定,零乘以任何数积规定为零,即0×商=被除数(不为0),所以不可能得到这个被除数,所以商不存在。
第二种情况,除数是0,被除数也是0;我们把被除数÷除数=商转化成乘法就是除数×商=被除数;而根据乘法中的规定,零乘以任何数积规定为零,即0×商=0,所以商可以是任意数,即商不确定。
0是什么?
作为一个特别的数,0具有下面一堆的性质:
- 按照最新的定义,0是最小的自然数(实际上,在我们小时候,国内的教科书还没有把0归于自然数。历史上,0也是后面才出现的。)
- 0是偶数
- 0不是正数也不是负数,是数轴上正负数的分界点
- 0乘以任何数都等于0
- 0既不是质数也不是合数
- 任何非零数的0次方等于1
- 0的平方等于0(中学常用的配方求极值所依赖的性质)
- 0不能做除数和分母
- …
为什么0不能做分母?
也许从小老师就这么教,我们理所当然地就认为0不能做除数。一个数除以0是多少,应该是无穷大?把一堆苹果分给0个人是什么意思?
真相究竟是什么?此时,我们需要回到本源,回到除法的定义。
我们知道:
被除数÷除数=商
逆运算就是:
被除数=除数×商
如果除数=0,根据被除数是否为0,有两种情况:
case 1 : 被除数≠0
此时,被除数=0×商,不能成立,因为0乘以任何数都等于0;
case 2: 被除数=0
此时,0=0×商,商可以是任何数,违背了运算的确定性
因此,0不能作为除数。所以,回到本源、回到定义、重视概念,对理解和解决问题非常重要。
昍爸,计算机博士,曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖,江苏赛区第一名,高考数学满分。现为大学计算机专业教授,平时注重提升孩子的数学和计算思维。开设有公众号(xuanbamath),此公众号将伴随昍昍的成长,分享寓教于乐、学以致用的数学与计算思维教育方式。
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