来源头条作者:高唐市场监管
现在谈谈《数学物理方法》这本教材的第二部分：数学物理方程。我把这一部分翻来覆去地看了几遍，发现将近两百页的篇幅其实就写了四个大字：“变换”、“逼近”。
我承认我是懒人，时时刻刻都在琢磨如何偷奸耍滑，用最小的力气换取最大的回报。所以我会喜欢克莱因的《高观点下的初等数学》。所以我认为在周星驰的电影《鹿鼎记》里，陈近南实在是一个很有大爱的人：一上来就传授绝世武功秘籍的目录。这是真正地授人以道啊。同理，当我发现这本教材用两百页的篇幅只解释四个字的时候，我马上做了决定：“习题解答就做它了！”
说数学物理方法只有这两条当然是不对的。但是从这两个观点看过去，确实可以统摄一批工具和技巧。接下来我就按章节逐一讨论，和兄弟姐妹们切磋一番。
【第十二章：数学物理方程和定解条件】
这一章是搭建主人公表演的舞台，没有什么可以多说的。物理学出身的人比我有资格得多，我就不聒噪了，老老实实做题。
【第十三章：线性偏微分方程的通解】
要去华尔街面试的兄弟姐妹们这一章要熟悉哈。原因俺就含笑不语了。
这一章的方法有个明确的名目，曰“[URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus]operational calculus[/URL]”。最早来源于一些数学家和工程师从形式上解微分方程的努力（大家熟悉的Heaviside 就是其中一位）。具体的做法就是把微分方程的求解通过形式化的微分算子，转化成代数方程求解。
例如求解一个二阶常微分方程y’’(t) + a y’(t) + by(t) = 0。我们通常被告知：“先求解特征方程x^2 + ax + b = 0，然后方程解的一般形式就是 c1 exp(x1 * t) + c2 exp(x2 * t)了”。验证一下这确实是对的，可是除了死记硬背，怎么把这个技巧看得比较“自然”呢？
办法就是把原方程看作（D^2 + a D + b） y = （D – x1）(D – x2) y = 0。这里 D 是微分算子。然后问题就简化为解一阶线性常微分方程 （D – x1）y = 0 和 (D – x2) y = 0。而这是可以通过积分因子法轻易求解的（参见丁同仁李承治的书）。最后利用解的线性叠加性，把方程的通解表示为两个基解的线性组合就行了。所以这么一道微分方程求解的题目，把“变换”和“逼近”这两个思想都用足了。
这是一个很好诠释数学家们口耳相传的一个常识的例子：“一开始，我们只是发现了一个技巧；然后技巧演化成了一个方法；最终方法变成了一个理论”。
所以在很多情况下，用这种形式化的算子法来解微分方程，当其适用的时候，往往是最简单的。丁同仁李承治的《常微分方程教程》有一章专门讲这个方法。但是第二版却把相关内容拿掉了，俺很不解，也很不满。
这种形式化的operational calculus能够解线性常微分方程，也能够解线性偏微分方程。这就是第十三章的一条主线。其他还有一些相关不相关的细节，大家逐一学习就是了。习题当然还是全做。
【第十四章：分离变量法】
我第一次读变量分离法的时候，先是不信：“你咋知道解可以写成变量分离的形式”？然后就是掉眼镜了。。。
其实回过头来看，这无非就是逼近罢了。以求解一个二元偏微分方程为例。基本想法就是把未知函数 f(x,y) 用形如 g(x)h(y) 这样的函数的线性组合来逼近。而每一个g(x) 和h(y)又各自用一组基来表示。这个想法是很自然的，例如用多元多项式去逼近多元函数，用傅立叶级数去构造一个函数，等等。
碰巧我看到最近还有人在研究这类问题：
V. A. Daugavet and M. V. Kireeva. Approximation of a Function of Two Variables by a Product of Functions of One Variable on a Given Domain. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, 2010, Vol. 43, No. 3, pp. 131-138. 链接出处
所谓的“本征函数”，无非就是满足一定限制条件的逼近函数而已。为了能够达到逼近的目的，我们还需要确认它们构成了函数空间的一组基。而为了让逼近方式尽量简洁，我们还希望取正交基，等等。这大致就是后面第十八章解释的“高观点”。
第十四章的习题我略掉了第4题、第8题、和第11题。主要是因为我的大学物理已经忘光了。不太确定我列出的数理方程是正确的。
【第十五章至第十七章】
这几章并没有什么新的东西。无非就是如第十五章开篇所言，由于微分方程的作用区域不同而需要引入新的坐标，从而导致产生新的方程、新的函数（作为方程的解）。
这几章涉及的计算虽然直接，但是量实在是太大了。我一是体力上吃不消了，二是觉得在技巧上并没有新东西需要展示的。所以我就只挑了其中一部分给出了解答，而没有全做。有兴趣的同学们可以自己把解答补全。容我偷懒了。
【第十八章：分离变量法总结】
这一章的内容和动机已经在前面解释过了。大家逐一做题就是了。题目简单，当然还是全做。
漫谈数学物理方法与特殊函数（五）21
【第十九章：积分变换的应用】
习题解答做了第1-4题。第5题偷懒没做；第6题不知该如何列方程。
关于这章我没有什么太多可说的。只是提供几本关于积分变换的参考资料。
1. U. Cherubini, G. D. Lunga, S. Mulinacci, and P. Rossi. Fourier Transform Methods in Finance.
2. B. Davies. Integral Transforms and Their Applications, 3rd edition.
3. L. Debnath and D. Bhatta. Integral Transforms and Their Applications, 2nd edition.
4. D. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, 2nd edition.
5. A. Erdelyi. Tables of Integral Transforms, I, II.
6. A.Poularikas. Transforms and Applications Handbook, 3rd edition.
7. J. Schiff. The Laplace Transform: Theory and Applications.
谈几点看法。
第一、在没有Mathematica的年代，物理学家和工程师往往需要查这些手册表格来推演公式。即使现在有了Mathematica，有这些资料在案头做参考也是好的：兄弟我就曾经在工作中把Mathematica搞得神经崩溃了，后来靠了手动查资料才解决问题（ 有些怀念那段和特殊函数们同吃同睡的日子了）。
第二、无论理论上多么漂亮，实践中我们都需要用计算机来进行计算。所以我们不能只满足于推导一些closed-form的公式，而要确实解决问题。说白了，就是要给出一个数字作为结果，并给出误差估计。
在这方面，理论结合实际、实践检验真理的典范就是把我们学来的理论方法用到挣钱、卫星上天这种事情上去：数字不准或者误差估计不好，就是公司破产、个人破财、国家航天事业受损这样“影响极其恶劣，不杀不足以平民愤”的结果。
所以我在这里重点推荐 Fourier Transform Methods in Finance 和 Transform Methods for Solving Partial Differential Equations这两本书。前者浅显易懂，直接应用到了金融建模中。后者的作者[URL=http://rsd.gsfc.nasa.gov/912/code912/personnel/Dr.Dean.G.Duffy/resume.html] Dean Duffy[/URL]博士毕业于麻省理工，曾长期为美国军方效力（美国海军学院、美国军事学院、美国空军），现在是美国航空航天局的工程师。他写的这本关于积分变换的书和另外一本关于格林函数的书（稍后会提），实用性和针对性都非常的强，解决的都是他自己和他的同事朋友们在工作中遇到的实际问题。他写书的一个特色就是提供“***”的解决方案：不但有理论公式推导，更重要的是有数值计算的解决方案。
当然我们不能指望他在书中告诉我们他都工作过哪些具体问题，但是我希望国内的工程技术人员能够从中有所收益。
第三、以我浅薄的学问，是没有资格在这里谈论数学物理方法和特殊函数的 — 专业不对口啊。而且老实说，中国大学里本科阶段教授的数学物理方法是非常简单的，不足以专门用来开帖讨论。但我终究还是冒昧地开贴了。无他，有恃无恐的是“钢多气少”，也就是资料丰富而已。
抗美援朝的时候，***曾有“美国人钢多气少，中国人钢少气多”的评论。时代发展到今天，由于互联网和开放课程开源运动的兴起，中华民族正面临一个千载难逢的赶超机会。如果我的这个系列帖子能够把美国的“钢”源源本本地传递给国内的学子和科技人员，那我的一个主要目的就达到了。这大概就是历史对于我们这些尴尬地夹在时代的裂缝之间的过渡性人物的要求吧。
【第二十章：格林函数】
我对教材里的讲法不太满意，主要是太强调技巧，有些见“树”而不见“森林”的感觉。我所心仪的讲法是把格林函数作为微分算子的逆算子来看。然后从这个“高观点”出发，对各种寻找格林函数的技巧做一个统一处理。这种讲法的好处是可以把有限维线性空间、积分方程、泛函分析作为一个有机的整体，按照华罗庚先生“***”的方式一气呵成地讲出来。尤其考虑到北大版的这本教材没有专门讲积分方程（复旦版则讲了）。
这种讲法的路线图是先从Roach 的[URL=http://www.amazon.com/Greens-Functions-G-F-Roach/dp/0521282888/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1287937667&sr=8-1] Green’s Functions [/URL]开始，从线性代数自然地过渡到积分方程，引出高观点。然后介绍上文提到过的Dean Duffy博士的[URL=http://www.amazon.com/Greens-Functions-Applications-Dean-Duffy/dp/1584881100/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1287937901&sr=8-2]Green’s Functions with Applications[/URL]，尤其强调具体的使用和数值方法。最后再介绍Dieudonne的[URL=http://www.amazon.com/History-Functional-Analysis-North-Holland-Mathematics/dp/0444861483/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1287938084&sr=1-1]History of Funtional Analysis[/URL]，为以后泛函分析的学习打下坚实的基础（例如前面提过的Lax的 Functional Analysis，或者是Lebedev和Vorovich合著的Functional Analysis in Mechanics）。
我原打算把Roach书上的习题都解答一遍（都不难），然后再把吴崇试书里这一章的习题解答一遍，并在适当的地方给予“高观点”的评论。但遗憾的是，我一直没有时间精力完成此项工作，所以这一章的习题解答只好交白卷了。作为补偿，我上传了Duffy、Dieudonne、Lebedev & Vorovich的书，大家可以自己尝试一下，看这条路是否走得通。
【第二十一章：变分法初步】
这一章的内容其实比较庞杂，理论分析、数值解法都有一些。我学习时的主要参考书是 Gelfand 和 Fomin 合著的 Calculus of Variations。这大概是学术界公认的最好的变分法教材。比较突出的特点是叙述非常详细，读来有娓娓道来的感觉。同时覆盖面很广，短短200多页的篇幅，把变分法的来龙去脉解释得一清二楚。其中场论的章节对于物理系的同学们以后学习分析力学（汉密尔顿力学和拉格朗日力学）帮助很大。该书对于控制论的学习也不无裨益（参见Fleming 和 Rishel的著作 Deterministic and Stochastic Optimal Control。这本书很有名，但是我个人不推荐。）
Calculus of Variations这本书的作者之一Gelfand （中译名盖尔方德）是前苏联著名数学家，苏联数学学派的领袖人物，列宁奖和沃尔夫奖获得者，皇家学会会员，美国科学院外籍院士，“二十世纪最伟大的数学家之一”（****）。所以从这本书里学习变分法，不用担心投错了主公。事实上，如果让我来开一个一学期的变分法课程，我一定会选这本书，并且让学生们把章末的习题都做一遍。
回到吴崇试的《数学物理方法》。章末有6道习题，我只做了第1-3题。原因是去年冬天熬夜熬得太厉害，最终生病了，所以写完第3题的解答后就去度假休养了–赶在了BP漏油之前玩了西加勒比海，呵呵呵
。
课本上最后一节讲了一点瑞利-里兹方法。我觉得篇幅太短，讲得不够透彻。所以从 Gelfand & Fomin的书上摘录了部分内容，做了一个小结。这是习题解答里的第21.2小节。同时也摘录了他们书上的3道习题，做了解答。
有意思的是，在我对其中一道习题给出解式，并试图用Matlab做一个数值试验的时候，Matlab报错了。原因是计算涉及的矩阵性质不太好，造成了算法的不稳定性。我正在写 Numerical Linear Algebra (by Trefethen and Bau)的习题解答。到时候大家可以试试看，用上数值线性代数的知识，我们是否能够设计出稳定强健的算法来。
我希望这个例子可以让同学们意识到，写出公式只是第一步，后面还有大量的工作需要做。做理论的千万不要觉得自己了不起翘尾巴，一定要和工程师以及一线的技术工人一起摸爬滚打，才能真正地把问题吃透解决掉。
【第二十二章：数学物理方程综述】
对于这部分内容，我建议大家查阅丁同仁李承治的著作《常微分方程教程》（高等教育出版社）最后两章的内容作为补充（首次积分、一阶偏微分方程）。
我在这章的习题解答里加了一个小结，对二阶线性偏微分方程做了一个总结。章末的习题也都做了，希望对大家有所帮助。
文末我加了一个附录，活学活用对数学金融里的 Black-Scholes 方程的推导及解答做了一个示范，希望对大家准备面试有所帮助。
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基本上这就是我要谈论的了。我这一路下来，对吴崇试教授的这本教材提了不少批评意见，可能有读者对此有看法，或者对我个人，或者对这本书。我解释一下。
这本书是一本相当不错的教材，和国内外的同类教材相比较并不逊色。否则我也不会为它写了100多页的习题解答。由于篇幅所限，这本书作为本科生的入门教材没办法讲太多的东西，而我又带着“引出更多参考资料”的目的，所以批评起来难免刻薄，让人觉得这本教材写得太浅。
同时，我个人又带着学数学出身的偏见，哲学观方法观和物理科班出身的有所不同。例如我偏好用统一的“道”去统摄各种具体的“术”，这是典型的布尔巴基风格（我出身法国概率学派，所以这个毛病非常的明显）。
但这是后知后觉的“整理”，与现实中科研进展的曲折反复是不符合的。推而广之，用“高观点”整理过的东西，往往容易让人误以为历史的发展是线性的。实际上这是违背历史的本来面目的。
我借此场合再次重申一点：我自己学问不高，前面的若干见解几乎都是自己瞎琢磨。所以偏颇乃至错误是难免的。请大家用批判的态度阅读我的帖子。
漫谈数学物理方法与特殊函数（六–完）20
文件上载在http://www.esnips.com/web/SolOpenSrc。下面是上传文件的目录。
北大版《数学物理方法》（第二版，吴崇试编著）习题解答（solution_PKU_methods_of_math_physics.rar）
【1】wu_public.tex, wu_public.pdf
【2】qazi.pdf
【3】rieman_surface_1.pdf, rieman_surface_2.pdf
【4】solving_recurrence_relations.pdf, solving_recurrence_relations.ps.
渐进分析（asymptotic_analysis.rar）
【1】Hardy. Divergent Series
【2】Wong. Asymptotic Approximations of Integrals
【3】de Bruijn. Asymptotic Methods in Analysis.
【4】Erdelyi. Asymptotic Expansions.
【5】Dingle. Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation
复分析（complex_analysis.rar）
【1】J. B. Conway. Functions of One Complex Variable, 2nd edition.
【2】Gong Sheng. Concise Complex Analysis, 2nd edition. (有中文版《简明复分析》，龚昇著)
【3】E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis.
【4】T. Driscoll and L. Trefethen. Schwarz-Christoffel Mapping.
我不是相关的专家，但是我依稀记得共形映射（conformal mapping）在流体力学和电磁力学中很有用，因为它可以把不规则区域映射为性质很好的规则区域，从而把不规则区域上的偏微分方程变换为定义在规则区域上的偏微分方程，以便于我们求解。这种变换的一个系统方法就是Schwarz-Christoffel mapping。参考资料【4】的作者之一Lloyd Trefethen是牛津大学著名的数值分析学家。他在【4】这本书里面，为各种区域之间的共形变换提供了具体的公式和数值方法，非常实用。希望这本短小精悍的专著能够对我们的工程技术人员有所帮助。
积分变换（integral_transform.rar）
【1】U. Cherubini, G. D. Lunga, S. Mulinacci, and P. Rossi. Fourier Transform Methods in Finance.
【2】B. Davies. Integral Transforms and Their Applications, 3rd edition.
【3】L. Debnath and D. Bhatta. Integral Transforms and Their Applications, 2nd edition.
【4】D. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, 2nd edition.
【5】A. Erdelyi. Tables of Integral Transforms, I, II.
【6】A.Poularikas. Transforms and Applications Handbook, 3rd edition.
【7】J. Schiff. The Laplace Transform: Theory and Applications.
格林函数（greens_functions.rar）
【1】D. Duffy. Green’s functions with Applications.
【2】J. Dieudonne. History of Functional Analysis.
【3】L. P. Lebedev and I. I. Vororich. Functional Analysis in Mechanics
变分法（calculus_of_variations.rar)
【1】I. M. Gelfand and S. V. Folmin. Calculus of Variations.
【2】W. G. Smiley and G. C. Evans. The First Variation of A Functional. Bull. Amer. Math. Soc. Volume 36, Number 6 (1930), 427-433.
数学物理方法（methods_of_math_physics.rar）
【1】R. Courant and D. Hilbert. Methods of Mathematical Physics I, II.
【2】P. Morse and H. Feshbach. Methods of Theoretical Physics, I, II.
【3】C. Harper. Analytic Methods in Physics.
【4】C. Pope. Methods of Theoretical Physics.
【5】M. Masujima. Applied Mathematics in Theoretical Physics. （主要关于积分方程和变分法）
【6】L. I. Sedov. Similarity and Dimensional Methods in Mechanics.（维度分析，对物理专业有用）
数学物理方法中文教材（chinese_methods_of_math_physics.rar)
【1】《数学物理方法》（复旦大学出版社，胡嗣柱、倪光炯编著）
【2】《数学物理方法解题指导》（高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军著）
【3】《数学物理方法教程》（南开大学出版社，潘忠诚编）
【4】《数学物理方法》（科学出版社，汪德新编著）
【5】《广义函数与数学物理方程》（高等教育出版社，第二版，齐民友、吴方同编）
【6】《数学物理方法》（李政道）
偏微分方程解析解（pde.rar）
【1】H. Bateman. Partial Differential Equations of Mathematical Physics.
【2】G. Evans, J. Blackledge and P. Yardley. Analytic Methods for Partial Differential Equations.
【3】R. Iorio and V. Iorio. Fourier Analysis and Partial Differential Equations.
【4】S. V. Meleshko. Methods for Constructing Exact Solutions of Partial Differential Equations.
特殊函数（special_functions.rar）
【1】W. Press, S. Teukolsky, W. Vetterling and B. Flannery. Numerical Recipes in C, 2nd edition.
【2】M. Abramowitz and I. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
【3】I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products, 7th edition.
【4】G. Andrews, R. Askey and R. Roy. Special Functions.
【5】R. Bellman. A Brief Introduction to Theta Functions.
【6】A. Cayley. An Elementary Treatise on Elliptic Functions.
【7】A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1, 2, 3.
【8】A. Levelt. Hypergeometric Functions.
【9】A. Nikiforov and V. Uvarov. Special Functions of Mathematical Physics.
【10】G. Szego. Orthogonal Polynomials.
【11】E. C. Titchmarsh. The Theory of the Riemann Zeta Function.
【12】Wang and Guo. Speical Functions.
【13】王竹溪，郭敦仁：特殊函数论
【14】G. Watson. A Treatise on the Theory of Bessel Functions.
【15】A. Zygmund. Trigonometric Series, Volume I, II.
【16】刘式适，刘式达：特殊函数
前面说过，无论多好的理论，多漂亮的公式，最后往往都需要用计算机实现出来。Numerical Recipes in C 这本书是就是帮助我们实现这一步的经典参考书，其中介绍了很多实现特殊函数的算法，并配有C代码。
Abramowitz & Stegun和Gradshteyn & Ryzhik则是非常实用的数学手册，里面给出了各种函数的逼近公式，便于我们用计算机代码去实现。前者在美国非常流行，连同Numerical Recipes in C，在我同事们间几乎是人手一册。后者则在前苏联地区享有盛誉，是俄国人做科研经常引用的文献。
对于工作中涉及数值计算的网友们来说，可能这三本参考书的有用程度超过了我前面所有的“高观点”和习题解答的总和。
（完）
